该过程中, 因压力变化引起取样筒容积膨胀, 可由弹性理论推导出筒体在内外压差作用下, 径向变化量为：

$\Delta {{D}_{\text{p}1-2}}=\frac{{{D}_{\text{i}}}{{p}_{\text{a}}}}{E\left( D_{0}^{2}-D_{\text{i}}^{\text{2}} \right)}\left[ D_{\text{i}}^{\text{2}}\left( 1-2\mu \right)+D_{0}^{2}\left( 1+\mu \right) \right]$ （1）

轴向变化量为：

$\Delta {{L}_{\text{p}1-2}}=\frac{D_{\text{i}}^{\text{2}}{{p}_{\text{a}}}L\left( 1-2\mu \right)}{E\left( D_{0}^{2}-D_{\text{i}}^{\text{2}} \right)}$ （2）

该过程中, 因温度变化引起取样筒容积膨胀, 可由线性膨胀系数公式可求得, 径向变化量为：

$\Delta {{D}_{\text{t}1-2}}=\alpha {{D}_{\text{i}}}\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$ （3）

轴向变化量为：

$\Delta {{L}_{\text{t}1-2}}=\alpha L\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$ （4）

由于温度和压力变化, 此时筒体内径为：

$D_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}={{D}_{\text{i}}}+\Delta {{D}_{\text{p}1-2}}+\Delta {{D}_{\text{t}1-2}}$ （5）

筒体外径为：

$D_{0}^{* }={{D}_{0}}+\Delta {{D}_{\text{p}1-2}}+\Delta {{D}_{\text{t}1-2}}$ （6）

筒体长度为：

$L_{1-2}^{* }=L+\Delta {{L}_{\text{p}1-2}}+\Delta {{L}_{\text{t}1-2}}$ （7）

筒体体积为：

${{V}_{1-2}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}D{{_{\text{i}1-2}^{\text{* }}}^{2}}L_{1-2}^{* }$ （8）

该过程中, 因压力变化引起取样筒容积膨胀, 同样可由弹性理论推出筒体在内外压差作用下, 径向变化量为：

$\Delta {{D}_{\text{p}2-3}}=\frac{D_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}\left( {{p}_{3}}-{{p}_{\text{a}}} \right)}{E\left( D{{_{0}^{* }}^{2}}-D{{_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}}^{2}} \right)}\left[ D{{_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}}^{2}}\left( 1-2\mu \right)+D{{_{01-2}^{* }}^{2}}\left( 1+\mu \right) \right]$ （9）

轴向变化量为：

$\Delta {{L}_{\text{p}2-3}}=\frac{D{{_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}}^{2}}\left( {{p}_{3}}-{{p}_{\text{a}}} \right){{L}^{* }}\left( 1-2\mu \right)}{E\left( D{{_{0}^{* }}^{2}}-D{{_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}}^{\text{2}}} \right)}$ （10）

该过程中, 因温度变化引起的取样筒容积收缩, 径向变化量为：

$\Delta {{D}_{\text{t}2-3}}=\alpha D_{\text{i1}-\text{2}}^{\text{* }}\left( {{T}_{3}}-{{T}_{2}} \right)$ （11）

轴向变化量为：

$\Delta {{L}_{\text{t}2-3}}=\alpha {{L}^{* }}_{1-2}\left( {{T}_{3}}-{{T}_{2}} \right)$ （12）

由于温度和压力变化, 此时筒体内径为：

$D_{\text{i2}-\text{3}}^{\text{* }}=D_{\text{i}1-2}^{* }+\Delta {{D}_{\text{p}2-3}}+\Delta {{D}_{\text{t}2-3}}$ （13）

筒体长度为：

$L_{2-3}^{* }={{L}_{1-2}}^{* }+\Delta {{L}_{\text{p}2-3}}+\Delta {{L}_{\text{t}2-3}}$ （14）

筒体体积为：

${{V}_{2-3}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}D{{_{\text{i}2-3}^{* }}^{2}}L_{2-3}^{* }$ （15）

取样筒由井下上升到地面后, 温度降低将引起取样筒容积收缩, 这个过程样品体积也由大变小, 如此地面样品的实际压力有可能小于样品地面设计压力, 故不能忽略温度对样品保真的影响; 取样筒由井下上升到地面, 取样筒外压逐步下降, 样品体积膨胀, 样品内压上升。样品到达地面的压力略高于样品地面设计压力才不影响样品保真, 故样品内压上升有利于样品保真, 故此处忽略样品内压变化对样品保真的影响。

对取样筒来说, 可跨过中间过程, 重点考虑预充好氮气的开始状态和取样完成到达地面稳定后的结束状态, 该过程中筒体径向变化量为：

$\Delta {{D}_{\text{p}1-3}}=\frac{{{D}_{\text{i}}}{{p}_{3}}}{E\left( D_{0}^{2}-D_{\text{i}}^{\text{2}} \right)}\left[ D_{\text{i}}^{\text{2}}\left( 1-2\mu \right)+D_{0}^{2}\left( 1+\mu \right) \right]$ （16）

轴向变化量为：

$\Delta {{L}_{\text{p}1-3}}=\frac{D_{\text{i}}^{\text{2}}{{p}_{\text{3}}}L\left( 1-2\mu \right)}{E\left( D_{0}^{2}-D_{\text{i}}^{\text{2}} \right)}$ （17）

通常情况T₁=T₃, 故有：

$\Delta {{D}_{\text{t}1-3}}=\alpha {{D}_{\text{i}}}\left( {{T}_{3}}-{{T}_{1}} \right)=0$ （18）

$\Delta {{L}_{\text{t}1-3}}=\alpha L\left( {{T}_{3}}-{{T}_{1}} \right)=0$ （19）

故样筒最终尺寸变化的结果为：

$D_{\text{i2}-\text{3}}^{\text{* }}=D_{\text{i1}-\text{3}}^{\text{* }}=D_{\text{i}}^{{}}+\Delta D_{\text{p}1-3}^{{}}$ （20）

$L_{\text{2}-\text{3}}^{\text{* }}=L_{\text{1}-\text{3}}^{\text{* }}=L+\Delta L_{\text{p}1-3}^{{}}$ （21）

（16）与（1）式两端相除并整理得：

$\Delta D_{\text{p1}-\text{3}}^{{}}=\frac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\text{a}}}}\Delta {{D}_{\text{p}1-2}}$ （22）

（17）与（2）式两端相除并整理得:

$\Delta L_{\text{p1}-\text{3}}^{{}}=\frac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\text{a}}}}\Delta {{L}_{\text{p}1-2}}$ （23）

将（22）式代入（20）式, 得:

$D_{\text{i2}-\text{3}}^{\text{* }}={{D}_{\text{i}}}+\frac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\text{a}}}}\Delta {{D}_{\text{p}1-2}}$ （24）

将（23）式代入（21）式, 得：

$L_{\text{2}-\text{3}}^{\text{* }}=L+\frac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\text{a}}}}\Delta {{L}_{\text{p}1-2}}$ （25）

将（24）、（25）式代入（15）式, 得：

${{V}_{2-3}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}{{\left( {{D}_{\text{i}}}+\frac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\text{a}}}}\Delta {{D}_{\text{p}1-2}} \right)}^{2}}\left( L+\frac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\text{a}}}}\Delta {{L}_{\text{p}1-2}} \right)$ （26）

对原油样品来说, 原油密度与温度负相关^[17], 如图3为常压下胜利油田某区块原油密度与温度的变化关系, 具有较好的线性关系, 经拟合可表示为：

$\rho \text{=}-A{{T}_{0}}+B$ （27）

其中A=0.73, B=1 135.66, 相关系数R²=0.998 3。

图3

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	图3 胜利油田某区块原油密度与温度的变化关系

设地压力与钻井液柱压力近似相等, 钻井液密度为ρ _df, 样品井下密度为ρ ₂, 样品地面密度为ρ ₃, 根据质量守恒, 样品腔中样品地面体积为：

$V_{\text{s}}^{* }=\frac{{{\rho }_{2}}{{V}_{\text{s}}}}{{{\rho }_{3}}}=\frac{\left( -A{{T}_{2}}+B \right){{V}_{\text{s}}}}{-A{{T}_{3}}+B}$ （28）

设地温梯度为G, 则：

${{T}_{2}}={{T}_{3}}+\frac{pG}{{{\rho }_{\text{df}}}g}$ （29）

（27）和（29）式中的A、B和G可根据取样区块的实际油藏参数确定。

当取样筒从井底返回地面, 样品体积变化量为：

$\Delta {{V}_{\text{s}}}={{V}_{\text{s}}}-V_{\text{s}}^{\text{* }}$ （30）

当没有氮气膨胀补偿时, 由样品体积收缩所致的样品腔内压差为：

$\Delta p=\frac{\Delta {{V}_{\text{s}}}}{{{V}_{\text{s}}}}{{E}_{0}}$ （31）

若无氮气膨胀补偿, 样品到达地面时样品腔内的压降较大, 引入氮气腔后, Δ V_s引起的压降基本由氮气腔来补偿。氮气非理想气体, 引入非理想气体状态方程描述氮气腔内氮气在地面预充、井下取样、取样返回地面3个时刻的状态：

$\frac{{{p}_{1}}{{V}_{1}}}{{{Z}_{1}}{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}{{V}_{2}}}{{{Z}_{2}}{{T}_{2}}}=\frac{{{p}_{3}}{{V}_{3}}}{{{Z}_{3}}{{T}_{3}}}$ （32）

其中

${{V}_{1}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}D_{\text{i}}^{\text{2}}L$ （33）

${{V}_{2}}={{V}_{1-2}}-{{V}_{\text{s}}}-{{V}_{\text{df}}}$ （34）

${{V}_{3}}={{V}_{2-3}}-V_{\text{s}}^{\text{* }}$ （35）

根据美国国家标准局发布的氮气在不同温度、压力下的压缩因子实验数据^[18], 抽稀取99组数据绘制压缩因子与温度、压力的变化关系（见图4）。当压力大于10 MPa、温度20~180 ℃时, 压缩因子大于1; 当压力为5~35 MPa时, 温度越低, 压缩因子越低, 当压力大于35 MPa时, 温度越低, 压缩因子越高。

图4

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	图4 氮气压缩因子随温度压力变化规律

同样根据上述美国国家标准局发布的氮气压缩因子数据, 共取220组采用1stOpt软件进行拟合, 得氮气压缩因子与温度和压力的关系函数：

$Z=\frac{10.05{{T}^{-0.025}}{{p}^{1.512}}+9\ 998.9}{10\ 000}$ （36）

拟合公式计算值与查表值对比误差率散点分布如图5所示（图5中字母a, b, …, k分别代表压力为4, 8, 12, 16, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 MPa, 共计11个; 下标1, 2, …, 20分别代表温度为10, 20, …, 200 ℃, 共20个）。可以看出, 相对于传统的查表计算, 拟合公式计算误差范围为-2%~5%, 可用于工程计算。

图5

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	图5 拟合公式计算值与查表实测值对比误差率散点图

改写（32）式可得：

${{p}_{1}}=\frac{{{Z}_{1}}}{{{Z}_{3}}}{{p}_{3}}\frac{{{T}_{1}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{1}}}$ （37）

${{p}_{2}}=\frac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{3}}}{{p}_{3}}\frac{{{T}_{2}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{2}}}$ （38）

${{p}_{3}}=\frac{{{Z}_{3}}}{{{Z}_{1}}}{{p}_{1}}\frac{{{T}_{3}}{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}{{V}_{3}}}$ （39）

在井底增压情况下有${{p}_{2}}=p+{{p}_{\alpha }}$, 代入（38）式得：

${{p}_{\text{a}}}=\frac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{3}}}{{p}_{3}}\frac{{{T}_{2}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{2}}}-p$ （40）

预充氮气压力（p₁）与井底增压量（p_a）参数的优化计算采用Matlab商业软件进行求解, 具体流程见图6。

图6

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	图6 预充氮气压力与井底增压量参数优化计算流程图

在地层流体泡点压力未知的情况下, 最好的保真取样方式就是保证样品取到地面时的压力等于地层压力, 此时有${{p}_{3}}=p$, 该种情况下只需计算对应取样体积下的预充氮气压力和井底增压量, 由（37）、（40）式得：

${{p}_{1}}=\frac{{{Z}_{1}}}{{{Z}_{3}}}p\frac{{{T}_{1}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{1}}}$ （41）

${{p}_{\text{a}}}=\frac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{3}}}p\frac{{{T}_{2}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{2}}}-p$ （42）

下面以计算实例说明保真参数的优化过程。设取样筒内径28 mm, 外径36 mm, 保压容器原始有效长度850 mm, 取样筒材料（铍铜）弹性模量128 GPa, 泊松比0.3, 线性膨胀系数为17.6× 10^-6 K^-1, 井下可提供最大井底增压量20 MPa。钻井液密度1 100 kg/m³, 样品体积弹性模量1.67 GPa, 大气压力忽略不计。地面温度为293.15 K, （27）式中的线性拟合系数A=0.73, B=1 135.66, 地温梯度为3 ℃/100 m。

为了方便现场应用, 将取样体积分别取固定值500, 450, 400, 300, 200, 100 mL, 由（41）、（42）式计算预充氮气压力、井底增压量与地层压力关系曲线（见图7、图8）。可以看到, 相同取样体积条件下, 地层压力越高, 所需预充氮气压力越高, 所需提供的井底增压量越大。假设取样体积为400 mL, 地层压力为27.8 MPa, 查图可知, 此时预充氮气压力最大值为7 MPa, 井底增压量最小值为19 MPa。

图7

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	图7 预充氮气压力与地层压力关系（p3=p）

图8

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	图8 井底增压量与地层压力关系（p3=p）

若只预充氮气, 无井底增压, 则取样筒在井底时氮气腔压力与地层压力一致, 有p₂=p, 代入（38）式可得井底样品返回地面时的压力（氮气腔压力）：

${{p}_{3}}=\frac{{{Z}_{3}}}{{{Z}_{2}}}p\frac{{{T}_{3}}{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}{{V}_{3}}}$ （43）

根据上式, 在不同取样体积条件下, 计算地层压力与返回地面样品压力的关系曲线, 并与相同条件下预充氮气+井底增压取样方式的计算结果对比（见图9, 图中不同取样体积条件下, 预充氮气+井底增压取样方式得到的样品腔压力与取样地层压力一致, 故图中仅以一条线代替）。可以看到, 无论取样体积为何值, 预充氮气+井底增压取样方式样品返回地面时的压力与地层压力均基本相等, 保真效果良好; 而无井底增压取样方式样品返回地面时的压力与地层压力存在较大差距, 且取样体积越大, 样品返回地面压力越小, 样品发生相变的可能越大, 说明仅预充氮气取样方式保真效果较差。

图9

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	图9 有、无井底增压取样方式地面样品压力对比

当地层压力小于泡点压力时, 取到地面的样品压力等于地层压力即可达到保真效果, 因此预充氮气压力与井底增压量的优化计算方法与地层流体泡点压力未知情况相同; 当地层压力大于泡点压力时, 则主要优化计算保证取到地面的样品压力等于泡点压力所需的预充氮气压力与井底增压量, 此时有p₃=p_b, 代入（37）、（40）式得：

${{p}_{1}}=\frac{{{Z}_{1}}}{{{Z}_{3}}}{{p}_{\text{b}}}\frac{{{T}_{1}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{1}}}$ （44）

${{p}_{\text{a}}}=\frac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{3}}}{{p}_{\text{b}}}\frac{{{T}_{2}}{{V}_{3}}}{{{T}_{3}}{{V}_{2}}}-p$ （45）

下面同样以计算实例说明保真参数的优化过程。采用前述取样筒、地层及流体等参数, 同时设地层流体泡点压力为25 MPa, 通过（44）、（45）式, 计算不同取样体积条件下预充氮气压力、井底增压量与地层压力的关系曲线（见图10、图11）。由图可知, 当地层压力大于25 MPa时, 预充氮气压力随地层压力增加而缓慢增加; 而井底增压量的变化趋势受地层压力、井下取样体积双重影响, 取样体积小于400 mL时, 井底增压量单调下调; 取样体积大于等于400 mL时, 井底增压量先下降后上升。由图10、图11, 在确定了取样体积时, 便可根据地层压力方便查得预充氮气压力、井底增压量。当取样体积为300 mL时, 如地层压力为42.5 MPa, 可查得预充氮气压力为11.1 MPa, 井底增压量为2.3 MPa; 当地层压力为50.0 MPa时, 可查得预充氮气压力为11.4 MPa, 井底增压量为0, 从曲线上可知, 当地层压力大于47.0 MPa时, 均无需井底增压, 此时取样筒右端如图2d-2所示, 存在钻井液。

图10

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	图10 预充氮气压力与地层压力的关系（p3=pb）

图11

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	图11 井底增压量与地层压力的关系（p3=pb）

向取样筒中预充定压氮气, 现场仅通过井下增压的方式来调节样品腔压力, 在一定的取样体积范围内, 若地层流体泡点压力已知, 则确保筒体中的样品压力到达地面时不小于泡点压力; 若地层流体泡点压力未知, 则确保筒体中的样品压力到达地面时不小于地层压力。

设预充氮气压力为10.0 MPa, 采用前述取样筒、地层及流体等参数, 通过（39）、（40）式计算不同取样体积条件下返回地面样品的压力、井底增压量与地层压力的关系曲线（见图12、图13）。当地层压力为25 MPa时, 如果要保证返回地面样品的压力大于或等于25 MPa, 则由图12可知取样体积必须大于等于350 mL; 由图12可知, 当井底增压能力上限为20 MPa时, 取样量为300, 350 mL可满足要求。根据图12、图13取样体积曲线的间距折算, 当取样体积为310~355 mL时, 地层样品到达地面时的压力不小于25 MPa, 可实现保真。

图12

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	图12 返回地面样品压力与地层压力的关系（p1=10.0 MPa）

图13

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	图13 井底增压量与地层压力的关系（p1=10.0 MPa）