0 引言
早期研究通过理想裂缝的诱导应力解析解分析了不同压裂模式下的缝间应力干扰作用，先后提出了交替压裂、拉链压裂、同步压裂以及改进式拉链压裂等方法[6⇓-8]。随着数值模拟技术的发展，建立完全流固耦合的多井压裂裂缝扩展模型成为研究重点。Wu等[9]建立了两口相邻水平井协同压裂模型，发现井间裂缝存在偏转吸引现象，容易引起裂缝合并和井间沟通。Sesetty等指出先压裂缝的闭合程度对诱导应力场变化和后压裂缝扩展形态具有明显影响[10-11]。尽管高水平应力差能有效降低井间应力干扰对裂缝偏转的影响，但仍然存在裂缝两翼非对称扩展、井间储集层改造不足的现象[12⇓-14]。考虑储集层天然裂缝发育，Qiu等发现压裂过程中存在最优的井、簇间距，拉链式压裂对储集层的改造效果比顺序压裂更好[15-16]。储集层改造效果除了受裂缝扩展形态影响，还与缝内支撑剂的分布密切相关[17]。支撑剂在裂缝中的运移和铺置主要以大型平行板携砂装置模拟研究为主，能够实时观测支撑剂在裂缝内的运移和铺置情况[18-19]。数值模拟主要分为欧拉-拉格朗日法和欧拉-欧拉法[20-21]。欧拉-拉格朗日法计算流体力学模拟结果精确，但计算成本较高；欧拉-欧拉法通过体积分数或者两相流动来表征支撑剂分布，计算量相对较低，能有效与裂缝扩展模型耦合计算。Dontsov等[22]通过耦合KGD（Khristianovich-Geertsma-Daneshy）和拟三维裂缝扩展模型研究了单裂缝动态扩展过程中缝内支撑剂运移规律，指出缝内支撑剂堆积会降低流体通过能力，进而影响裂缝扩展过程。Wang等[23]将支撑剂运移模型应用到PKN（Perkins-Kern-Nordgren）裂缝扩展模型中，同时考虑裂缝闭合过程的影响，评价了支撑剂分布对裂缝闭合宽度和导流能力的影响。可以看到，目前的研究主要针对单一裂缝模型，无法充分考虑井平台拉链压裂过程中密集分布裂缝间的竞争扩展现象。
目前开展井平台多井压裂改造研究时，对裂缝扩展与缝内支撑剂的运移过程考虑不足，难以准确评价储集层有效改造程度。针对此问题，本文基于位移不连续方法，建立了井平台多井压裂模式下三维裂缝扩展与缝内支撑剂运移的耦合模型，采用实际井平台参数，研究了多裂缝扩展、缝内支撑剂运移的特征与规律，以期为多井压裂改造工艺提供技术支持。
1 数学模型
1.1 固体变形方程
考虑无限大均质储集层中存在数条沿最大水平主应力方向扩展的平面裂缝，采用三维位移不连续方法求解岩石变形问题。将裂缝面离散成矩形网格，位移、应力等主要求解变量位于网格中心节点（见图1 ）。
考虑裂缝切向位移为零，法向位移分量等于裂缝宽度w。单个裂缝单元在储集层任意一点处产生局部坐标系下的法向应力为[24]：
${{\sigma }_{33}}=\frac{G}{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }(1-\nu )}w\left( {{I}_{33}}-{{x}_{3}}{{I}_{333}} \right)$
本模型为平面三维裂缝，不考虑裂缝偏转，计算各单元间相互作用产生的应力需通过一次坐标转换，然后通过应力叠加原理建立全局坐标系下应力与位移的矩阵方程组：
$\mathbf{p}-{{\mathbf{\sigma }}_{\text{h}}}=\mathbf{Aw}$
井平台下多井、多段压裂时，考虑先压裂裂缝受流体支撑作用，后续压裂段的裂缝扩展受到先压裂裂缝诱导应力场的影响。
1.2 携砂液体润滑方程
将裂缝内携砂液体视为平行板间的流体流动，考虑流体为不可压缩的牛顿流体，质量守恒方程为[25]：
$\frac{\partial w\left( x,y,t \right)}{\partial t}+\nabla {{q}_{\text{s}}}\left( x,y,t \right)+{{v}_{\text{L}}}\left( x,y,t \right)=Q\left( t \right)\delta \left( x,y \right)$
考虑缝内携砂液体为层流，其动量方程通过泊肃叶定律描述[26]：
${{q}_{\text{s}}}\left( x,y,t \right)=-\frac{{{w}^{3}}\left( x,y,t \right)}{12\mu }\nabla p\left( x,y,t \right){{\hat{Q}}_{\text{s}}}\left( \bar{\phi },\frac{w}{a} \right)$
${{\hat{Q}}_{\text{s}}}$是表示支撑剂对流体流动影响的无因次函数，可描述缝内携砂液体随归一化支撑剂浓度的增加由泊肃叶流动转化为达西流动的现象。
1.3 支撑剂运移方程
根据欧拉-欧拉法，将固相颗粒和液相压裂液均视为连续介质，考虑支撑剂为粒径均匀的球体，基于携砂液流动经验本构模型，同时综合考虑携砂液由泊肃叶流动向达西流动的转化、缝内砂堵和支撑剂的重力沉降等过程[22]，建立缝内支撑剂运移模型。为模拟裂缝动态扩展过程中的支撑剂运移规律，将缝内支撑剂运移模型与裂缝扩展模型顺序耦合计算，即每时步根据流固耦合方程求解得到裂缝宽度和压力场后，再计算支撑剂浓度分布。支撑剂的质量守恒方程为：
$\frac{\partial w\left( x,y,t \right)\bar{\phi }}{\partial t}+\nabla {{q}_{\text{p}}}\left( x,y,t \right)={{\phi }_{0}}Q\left( t \right)\delta \left( x,y \right)$
缝内支撑剂通量由对流项和重力沉降项组成：
${{q}_{\text{p}}}=B\frac{w}{a}\left[ {{{\hat{Q}}}_{\text{p}}}\left( \bar{\phi },\frac{w}{a} \right){{q}_{\text{s}}}-\frac{{{a}^{2}}w}{12\mu }\Delta \rho g{{{\hat{G}}}_{\text{p}}}\left( \bar{\phi }\frac{w}{a} \right) \right]$
${{\hat{Q}}_{\text{p}}}$、${{\hat{G}}_{\text{p}}}$为基于经验本构模型得到的两个无因次函数，分别描述携砂液带动支撑剂流动与支撑剂重力沉降两种现象。
1.4 裂缝扩展准则
${{w}_{\text{c}}}={{\left[ \frac{512{{K}_{\text{IC}}}^{3}}{{{{{E}'}}^{3}}}{{\left( \frac{r}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)}^{\frac{3}{2}}}+{{3}^{\frac{5}{2}}}\frac{24\mu {{v}_{\text{tip}}}{{r}^{2}}}{{{E}'}} \right]}^{\frac{1}{3}}}$
1.5 井筒流体流动方程
根据基尔霍夫电流定律建立井筒流体流动模型计算压裂段各簇裂缝流量的动态分配，在不考虑井筒存储效应情况下，各压裂段流体在井筒中的流动应当满足体积守恒和压力平衡条件[30]：
$\left\{ \begin{align} & Q=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{Q}_{i}}} \\ & {{p}_{\text{w}}}={{p}_{\text{f}}}+{{p}_{\text{p}}}\left( {{Q}_{i}} \right)+{{p}_{\text{c}}}\left( {{Q}_{i}} \right) \\ \end{align} \right.$
其中孔眼摩阻和井筒摩阻的具体计算公式为[31]：
${{p}_{\text{p}}}=\frac{8\rho {{Q}_{i}}^{2}}{{{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{2}}D_{\text{p}}^{4}N_{\text{p}}^{2}C_{\text{d}}^{2}}\ \ \ \ \ \ \text{ }{{p}_{\text{c}}}=\frac{128\mu }{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }D_{\text{w}}^{4}}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{{Q}'}}_{i}}}{{L}_{\text{c}}}$
此外，高速流动的携砂液会对孔眼产生严重的磨蚀作用，本文通过孔眼动态磨蚀模型考虑孔眼直径和流量系数的动态变化[32]。
1.6 数值模型求解流程
本文采用三维位移不连续方法求解固体变形方程、有限体积法离散法求解缝内流体流动方程、RKL（Runge- Kutta-Legendre）显示大步长算法求解流固耦合方程[33-34]、加权本质不震荡方法差分离散支撑剂运移方程空间项、三阶强稳定型Runge-Kutta方法计算支撑剂运移方程时间项[35]。具体计算步骤为：①输入模型基本参数，划分裂缝网格单元。②给定时间步长，根据Newton-Raphson方法求解井筒流体流动模型得到各簇裂缝流量分配。③采用缝内流体流动方程计算缝宽，通过固体变形方程求得对应的缝内流体压力。④根据当前时刻缝内流体压力重新计算各簇裂缝流量分配直至收敛。⑤细分当前时间步，通过支撑剂运移模型计算缝内支撑剂浓度分布。⑥采用多尺度尖端渐进解计算尖端单元临界宽度，判断裂缝是否发生扩展。⑦判断是否达到给定的泵注时长，若是则结束，否则返回第②步继续循环计算。
2 模型验证与参数设置
对于平面三维裂缝扩展模型，采用Penny裂缝解析解进行模型准确性验证。裂缝面单元网格尺寸为
2 m×2 m，模型验证参数为：排量5 m3/min，液体黏度5 mPa·s，弹性模量30 GPa，注入时间20 min；当断裂韧性为0.2 MPa·m0.5时，裂缝入口宽度和裂缝半径随时间的变化采用（9）式[36]计算。
$\left\{ \begin{align} & w\left( 0,t \right)=1.190\ 1{{\left[ \frac{{{\left( 12\mu \right)}^{2}}{{\left( 1-\nu \right)}^{2}}{{Q}^{3}}t}{{{E}^{2}}} \right]}^{1/9}} \\ & R\left( t \right)=0.694\ 4{{\left[ \frac{{{Q}^{3}}E{{t}^{4}}}{12\mu {{\left( 1-\nu \right)}^{2}}} \right]}^{1/9}} \\ \end{align} \right.$
从计算结果来看，模拟泵注20 min内，数值模拟得到的缝口宽度和裂缝半径均与解析解吻合较好，说明模型计算结果准确可靠（见图2 ）。
准噶尔盆地吉木萨尔凹陷二叠系芦草沟组页岩油储集层为源储一体薄互层状页岩，具有埋藏深、物性差、非均质性强等特点。为实现储集层立体动用和高效开发，该区块推广了大平台工厂化作业模式。本文选取吉木萨尔凹陷A平台的实际地质和工程参数（见表1 ），开展多井拉链压裂模式下裂缝扩展和支撑剂运移特征的数值模拟研究。
表1 井平台拉链压裂模型输入参数 |
| 参数 | 取值 | 参数 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 弹性模量 | 28 GPa | 簇间距 | 8 m |
| 泊松比 | 0.2 | 单簇孔数 | 6 |
| 断裂韧性 | 1 MPa·m0.5 | 孔眼直径 | 12 mm |
| 储集层厚度 | 20 m | 孔眼流量系数 | 0.65 |
| 最小水平主应力 | 60 MPa | 施工排量 | 14 m3/min |
| 层间应力差 | 5 MPa | 压裂液黏度 | 10 mPa·s |
| 井间距离 | 200 m | 压裂液密度 | 1 000 kg/m3 |
| 井筒直径 | 0.10 m | 支撑剂密度 | 2 500 kg/m3 |
| 压裂段长 | 48 m | 无因次支撑剂浓度 | 0.10~0.25 |
| 单段簇数 | 6 | 支撑剂粒径中值 | 0.38 mm |
注：无因次支撑剂浓度为支撑剂体积分数与最大容许体积分数之比 |
为充分考虑井平台拉链压裂模式下井间和段间应力干扰作用对多裂缝扩展和支撑剂运移的影响，设置两口多段多簇相邻水平井开展压裂模拟研究，井间裂缝交错距离等于簇间距的一半。施工过程中一口井进行压裂施工，另一口井进行桥塞射孔完井作业，两井压裂施工交替进行，压裂顺序为段1-1→段2-1→段1-2→段2-2（见图3 ）。
3 裂缝扩展形态与支撑剂分布特征
3.1 多裂缝扩展形态
井平台拉链压裂模式下，诱导应力场强度及范围的动态变化使各井段中多裂缝扩展与支撑剂分布形态存在差异。为方便描述和对比分析，根据裂缝扩展方向（y轴坐标方向）将每簇裂缝分为正负两翼，从井筒注入点沿着y轴正向扩展的裂缝一侧称为裂缝正翼，反之则称为裂缝负翼。此外，所有压裂段中各簇裂缝从趾端到跟端依次编号为第1—6簇。1-1段压裂施工作业时，由于只受段内应力干扰作用，多裂缝扩展表现为常见的非均匀展布形态。中间簇裂缝在挤压作用下除表现为长度和宽度较小外，另一特征为裂缝趋于纵向扩展以避免缝间应力干扰作用，这与花瓣状裂缝形态一样均是遵循能量最小原理[37]，但纵向上隔夹层的高闭合应力在一定程度上限制了裂缝宽度（见图4 ）。
1-1段施工结束后随即进行2-1段压裂，由于井间先压裂缝的存在，各簇裂缝扩展形态表现出明显的非对称分布现象。裂缝主要趋于向正翼方向扩展，且各裂缝为规避应力干扰的影响，向纵向扩展的现象更加显著。微地震监测结果表明，实际压裂过程中确实存在与完井顺序有关的裂缝非对称扩展现象[38]，这不仅加剧段内各簇裂缝改造的非均衡性，还降低了井组间储集层的改造程度。1-2段压裂施工时，多裂缝扩展形态与1-1段相似，由于受井间应力干扰作用影响较小，每簇裂缝没有呈现出明显的非对称形态，但与1-1段相比，该段趾端簇裂缝受段间应力干扰作用扩展长度和宽度明显降低，跟端簇裂缝基本不受影响，储集层内裂缝扩展形态呈现出明显的跟端倾向，这与光纤监测数据和井下鹰眼成像认识的裂缝形态一致[39-40]。最后进行2-2段压裂，由于先压裂段的数量最多，应力干扰作用最复杂，受相邻井、段先压裂缝诱导应力场影响，该段各簇裂缝扩展形态呈现出明显的非对称分布和跟端倾向。此外，从压裂施工曲线上可以看出（见图5 ），由于两井没有发生裂缝窜扰，相邻井段压力曲线大致相同，两口井第1段（1-1和2-1段）破裂压力均为68 MPa左右，携砂液阶段压力较为平稳，延伸压力为67 MPa左右，瞬时停泵时压力降到63 MPa。而对于后压两段（1-2和2-2段），受井内段间应力干扰作用影响，压力曲线整体上升0.6 MPa左右。
3.2 缝内支撑剂铺置特征
缝内支撑剂分布决定着人工裂缝的有效性，对压后油气井产量和稳产期具有重要影响。根据模拟结果可以看出各簇缝内支撑面积有限，主要分布在近井地带的缝宽较大区域。这是因为部分支撑剂因重力沉降作用在裂缝底部形成砂堤，且随着裂缝前缘宽度逐渐减小，支撑剂运移能力进一步受限，导致井间存在大量无效改造裂缝（见图6a ）。整体上看，各压裂段外侧两簇裂缝扩展更优，裂缝长度和宽度更大，缝内支撑剂运移距离和支撑面积较其他簇裂缝更大，表明优势裂缝中支撑剂铺置范围更大，支撑剂运移能力受裂缝宽度控制作用明显。根据井2各簇裂缝内支撑剂分布可以看出，裂缝由于受到井间应力干扰作用呈两翼非对称扩展形态，缝内支撑剂也呈现出非对称分布现象。如2-1段第5簇负翼一侧裂缝内的支撑剂运移距离小于正翼一侧，但铺砂浓度比正翼一侧高（见图6b ）。此外，各压裂段内均存在多簇裂缝受到应力干扰作用后突破隔层纵向扩展，但隔夹层高闭合应力导致缝宽较低，支撑剂几乎不能有效进入并运移，而是在储隔层界面处快速桥接形成砂堆，进一步阻碍流体和支撑剂运移。层状储集层加砂压裂物理模拟实验也得到同样结论，即使裂缝能够突破高应力隔夹层，但缝宽过窄导致支撑剂并不能有效运移，整体上缝内支撑剂铺置范围有限，这反映裂缝宽度对支撑剂运移能力起控制作用[41]。
3.3 各段储集层改造面积
统计储集层改造面积可以发现，由于各压裂段受到的应力干扰强度和范围不同，各段裂缝面积和支撑面积存在明显差异，有效支撑比例（总支撑面积与总裂缝面积比值）为45%~51%（见图7 ）。与井1中压裂段相比，由于完井次序的影响，井2中两个压裂段的总裂缝面积和支撑面积明显更低，且裂缝两翼扩展面积和支撑剂面积差异更大，表明井间应力干扰不利于裂缝两翼均衡扩展以及井间储集层的充分改造。此外，对比主要受相邻井间应力干扰的2-1段和主要受井内段间应力干扰的1-2段可以发现，在200 m井距的拉链压裂模式下，相邻井间干扰对储集层改造程度的影响比井内段间干扰更加明显。因此，要提升井平台压裂模式下储集层有效改造程度，需要针对性优化设计井-段-簇参数。
4 裂缝扩展与支撑剂运移影响因素
4.1 井间距离影响
井间距离优化设计是平衡资源动用程度和经济效益开发的重点。为研究井间距离对各簇裂缝扩展以及支撑剂运移铺置形态的影响，采用表1 中的基础数据作为基本案例，分别设置100~350 m的井间距开展井平台拉链压裂模拟。与基本案例中井间距离200 m相比，井间距离100 m时的多裂缝扩展形态和支撑剂分布更加不均衡，尤其是井2中的两个压裂段，在更强的井间应力干扰作用下，负翼裂缝在长度和宽度受到严重抑制后主要趋于纵向扩展，而正翼裂缝横向扩展长度更加参差不齐。在水力裂缝两翼非对称扩展趋势增强的条件下，缝内支撑剂分布呈现出更加明显的两翼非对称现象。整体上看，水力裂缝长度和宽度减小，缝内出现更多的高浓度砂堆，缝内砂堵风险增加。此外，过小的井间距离使得两口井中有多簇裂缝直接沟通邻井，可能引起井筒套变，不利于后续压裂施工作业（见图8a ）。当井间距离增大到300 m时，井间应力干扰作用对裂缝扩展的影响降低，段内各簇裂缝扩展形态表现出均衡且对称的特点，井间无裂缝沟通，两口井的多裂缝扩展形态和支撑剂铺置几乎相同（见图8b ）。
段内各簇裂缝纵向扩展趋势随着井间距离增加而减弱，裂缝横向扩展更加充分，两翼扩展也趋于均衡对称，储集层中总裂缝面积和支撑面积逐渐增加（见图9 ）。这表明增大井间距离能有效降低井间应力干扰的影响，不仅能够减少井间窜扰现象发生，还可以促进多裂缝扩展和支撑剂均衡铺置，增大储集层有效改造程度。综合考虑储量动用程度和经济效益，实际储集层条件下应该存在一个最优井间距离。以储集层有效改造面积或者多裂缝扩展均衡程度最大为目标，合理井间距离应为250~300 m。
4.2 簇间距离影响
现场实践证明，缩短簇间距离不仅能够增加人工裂缝密度，还可以大幅降低基质中流体流向裂缝的距离和驱替压差，有利于增加储集层缝控储量[3]。为研究簇间距离对各井段裂缝扩展和支撑剂铺置的影响，在固定压裂段长的条件下改变单段射孔簇数（4~8簇/段）开展压裂模拟。单段液量和支撑剂用量以相同的平均单簇液量和砂量进行折算，其余参数保持不变。与基本案例相比，单段射孔簇数由6簇降为4簇时，簇间距离由8 m增加到12 m，缝间应力干扰作用的影响降低，各压裂段内多裂缝纵向扩展趋势减弱，裂缝两翼横向扩展更加充分，裂缝扩展形态和支撑剂铺置更为均匀（见图10a ），但簇间距离过大易造成缝间部分储量无法动用，必要时需要增加人工裂缝密度。单段簇数增加到8簇时，簇间距离降低为6 m，缝间应力干扰作用增强导致各裂缝扩展形态和缝内支撑剂分布不均衡程度增加，表现为优势裂缝（如1-1段第8簇）扩展长度和支撑剂铺置范围更加占优，而劣势裂缝（如1-1段第3簇）受抑制后纵向扩展趋势更为明显，裂缝横向扩展长度和支撑剂运移距离较短（见图10b ）。整体上看，由于裂缝宽度对支撑剂运移起主导作用，在更小的簇间距离下，大部分裂缝内支撑剂运移能力降低，有效铺砂范围减小，近井区域内出现更多高浓度砂堆。
随着簇间距离逐渐减小，缝间应力干扰作用增强，各簇裂缝扩展面积差异系数（各簇裂缝面积的标准差与其平均值之比）逐渐增加，表明裂缝扩展更加不均衡。随簇间距离的减小，水力裂缝密度增大，总裂缝面积近似呈线性增大，总支撑面积也同样增大，但当簇间距离小于7 m后，其增大趋势减缓（见图11 ）。因此，即使压裂段密集布缝可以增大储集层中裂缝改造面积，但簇间距离过低增强了缝间的应力干扰，导致劣势簇裂缝扩展长度和宽度受到更加严重的抑制，不利于缝内支撑剂运移。仅依靠降低簇间距离并不能有效增加铺砂范围，反而会引起近井区域铺砂浓度增加，导致缝内砂堵和压后出砂现象发生。
4.3 压裂段间隔时长影响
压裂段停泵后，各簇裂缝在地应力作用下逐渐闭合，其诱导应力场范围和强度也会不断降低。为研究压裂段作业间隔时长对后续裂缝扩展和支撑剂运移的影响，以基本案例的模型参数为例，将两口井拉链压裂改为顺序压裂，压裂顺序调整为段1-1→段1-2→段2-1→段2-2。相比于拉链压裂模式，顺序压裂时同一井内压裂段间隔时长降低为零，而相邻井压裂段的间隔时长增大到一口井的作业时间。各段施工结束后，后续压裂段趾端簇裂缝（如1-2段第1簇）受到更加严重的抑制作用，主要趋于纵向扩展，并且较低缝宽严重限制了支撑剂运移，导致该簇缝内铺砂范围显著减小，高浓度砂堆集中分布在近井区域，砂堵风险增大（见图12 ）。这是因为顺序压裂模式下井内压裂段的作业间隔时间更短，先压裂缝内的流体未充分滤失，缝内流体压力大，诱导应力场对后续裂缝的干扰更强。水力压裂物理模拟实验结果也表明，先压裂缝内净压力越高，应力干扰对后续裂缝扩展影响越明显[45]。尽管拉链压裂模式下相邻井间的压裂段间隔时长较小，但是邻井应力干扰受井间距离主导，井间应力干扰强度小于顺序压裂。因此，相比于单井顺序压裂，拉链式压裂不仅能够提高施工效率，还可以降低井内的段间应力干扰，促进段内各簇裂缝扩展和支撑剂铺置更加均衡。
5 结论
井平台拉链压裂模式裂缝起裂及扩展受段内、段间以及井间等多种应力干扰的共同影响，裂缝展布形态具有各簇非均衡、两翼非对称以及跟端倾向特征。
裂缝形态及宽度对缝内支撑剂运移能力影响显著，支撑剂主要铺置在近井缝宽较大区域，在裂缝前缘和储隔层界面等缝宽较窄处易快速桥接堆积，阻碍携砂液体运移，整体缝内支撑面积占45%~51%。
增大井间距离有利于降低邻井的应力干扰作用，促进两翼裂缝和支撑剂均匀展布，以储集层有效改造面积或者多裂缝扩展均衡程度最大为目标，井平台存在最优井间距离。
适当降低簇间距离能够提升储集层改造程度，但簇间距过低不利于裂缝均衡扩展和缝内支撑剂运移，并不能有效增加支撑面积，反而增大缝内砂堵风险，同样存在最优簇间距离。
增大压裂段间隔时长有利于先压裂缝充分闭合，降低段间应力干扰作用。与顺序压裂相比，拉链压裂模式下各簇裂缝扩展和支撑剂铺置更加均衡。
符号注释：
a——支撑剂半径，m；A——影响系数矩阵，Pa/m；B——支撑剂堵塞函数；Cd——孔眼流量系数，无因次；Dp——孔眼直径，m；Dw——井筒直径，m；E——弹性模量，Pa；
E°——平面应变弹性模量，Pa；g——重力加速度，m/s2；G——剪切模量，Pa；${{\hat{G}}_{\text{p}}}$——描述支撑剂重力沉降的函数，无因次；i——射孔簇编号；I33，I333——格林函数I的偏导数，具体形式见参考文献[24]；KIC——I型裂缝断裂韧性，Pa·m0.5；
Lc——簇间距离，m；N——单段总簇数；Np——孔眼数目；
p——缝内流体压力，Pa；p——缝内流体压力列向量，Pa；
pc——井筒摩阻，Pa；pf——裂缝缝口压力，Pa；pp——孔眼摩阻，Pa；pw——井底压力，Pa；qp——单位长度裂缝支撑剂通量，m2/s；qs——单位长度裂缝流体通量，m2/s；Q——注入排量，m3/s；Qi——第i簇裂缝的注入流量，m3/s；${{{Q}'}_{i}}$——第i簇与i-1簇间的流量，m3/s；${{\hat{Q}}_{\text{p}}}$——描述支撑剂对流作用的函数，无因次；${{\hat{Q}}_{\text{s}}}$——描述支撑剂对流体流动影响的函数，无因次；r——至裂缝尖端距离，m；R——Penny型裂缝半径，m；t——时间，s；${{v}_{\text{tip}}}$——裂缝尖端扩展速度，m/s；vL——滤失速度，m/s；w——裂缝宽度，m；w——裂缝宽度列向量，m；wc——裂缝扩展临界宽度，m；x，y，z——全局坐标，m；x3——局部坐标，m；μ——流体黏度，Pa·s；ν——泊松比；σ33——局部坐标系下的法向应力，Pa；${{\sigma }_{h}}$——最小水平主应力列向量，Pa；δ——狄拉克函数，m−2；$\bar{\phi }$——归一化支撑剂浓度，无因次；${{\phi }_{0}}$——归一化支撑剂注入浓度，无因次；Δρ——支撑剂与流体密度差，kg/m3；ρ——携砂液体密度，kg/m3。