基于岩石的弹性特征可以确定岩层强度和主要地应力^[26], 其中泊松比和弹性模量是岩石弹性特征的关键参数。假设弹性各向同性, 利用声波测井数据, 可以通过（1）式计算动态弹性模量（E_dyn）, 通过（2）

式计算动态泊松比（υ _dyn）：

\[{{E}_{\text{dyn}}}={{10}^{6}}\frac{\frac{{{\rho }_{b}}}{\Delta {{t}_{s}}^{2}}(3\Delta {{t}_{s}}^{2}-4\Delta {{t}_{c}}^{2})}{\Delta {{t}_{s}}^{2}-\Delta {{t}_{c}}^{2}}\ （1）\]

\[{{\upsilon }_{dyn}}=\frac{0.5{{\left( {\Delta {{t}_{s}}}/{\Delta {{t}_{c}}}\; \right)}^{2}}-1}{{{\left( {\Delta {{t}_{s}}}/{\Delta {{t}_{c}}}\; \right)}^{2}}-1}\ （2）\]

在实验室模拟储集层压力条件下, 对从井筒中提取的岩心样品进行测试是确定这两个弹性参数的常用方法。然而从油气井中采集的岩心样品数量有限^[27], 动态泊松比和弹性模量通常根据声波测井资料通过（1）式和（2）式计算得到, 并以相邻井筒中少量岩心样品测得的静态值作为补充。Asmari组砂岩储集层岩心测得的静态弹性模量（E_sta）和静态泊松比（υ _sta）与根据其测井数据计算的动态对应参数存在一定的相关性, 可以通过（3）式和（4）式表示：

\[{{E}_{sta}}=0.7{{E}_{dyn}}\ （3）\]

\[{{\upsilon }_{sta}}={{\upsilon }_{dyn}}\ （4）\]

通过（5）式和（6）式由泊松比和弹性模量计算得到体积模量（K）和剪切模量（G）。

\[K=\frac{E}{3(1-2\upsilon )}\ （5）\]

\[G=\frac{E}{2(1+\upsilon )}\ （6）\]

在没有岩心样品实验室测试数据的情况下, 前人提出了多种与岩石强度有关并用以量化井筒地质力学特征的关系。一般来说, 这些关系涉及到对岩石强度有直接影响的各项参数, 如岩石的弹性模量和孔隙度^[28]。其中, 单轴抗压强度（UCS）与弹性模量（E）之间的关系可以由（7）式表示：

\[UCS=2.28+4.1E\ （7）\]

在FLAC3D建模过程中, 内摩擦角（基于Mohr-Coulomb标准, φ ）和内聚力（C）通常用于表征岩层抗压强度^{[29, 30]}。其中, 内摩擦角可以通过（8）式确定^[31]：

\[\varphi =26.5-37.4\left( 1-{{\phi }_{CNL}}-{{V}_{\text{s}hale}} \right)+\] \[62.1{{\left( 1-{{\phi }_{CNL}}-{{V}_{shale}} \right)}^{2}}\ （8）\]

其中 \[{{V}_{shale}}=\frac{GR-G{{R}_{min}}}{G{{R}_{max}}-G{{R}_{min}}}~~\]

内聚力可以通过（9）式由单轴抗压强度和内摩擦角计算得到^{[32, 33]}：

\[C=\frac{UCS}{2tan\left[ 45+\left( \frac{\varphi }{2} \right) \right]}\ （9）\]

为了评价井壁拉伸破坏与应力集中的关系, 须建立拉伸强度的评价标准。一般来说, 岩石的抗拉强度应为单轴抗压强度的1/12~1/8^[34]。相关性分析的结果表明, 储集层岩石的最佳抗拉强度宜为单轴抗压强度的1/10^{[35, 36]}。因此, 在本研究中将岩石的抗拉强度设为单轴抗压强度的1/10。

应用钻杆测试（DST）得到的孔隙压力最为准确, 重复地层测试（RFT）和模块地层动态测试（MDT）也可以快速准确地测量地层孔隙压力。利用这些方法可以测量井壁特定位置的孔隙压力, RFT和MDT通过电缆实现, 特别适用于须在特定层位中进行大量近距离重复性测试的情况。通过绘制多井多个地层孔隙压力数据随井深变化的关系图, 可推断出某特定油田特定地层的地层孔隙压力。在本研究中, 实测孔隙压力数据根据大量RFT测试得到。

通常用1个垂向应力和2个水平应力来表示地层3个主应力, 包括最大应力和最小应力。垂向应力代表上覆岩层对地层施加的压力, 由于上覆岩层的质量随着深度的增加而增大, 故而上覆岩层应力会随着埋藏深度的增加而增加。如果上覆岩层在深度（z）方向上均质性较好, 则垂向应力（σ _v）为：

\[{{\sigma }_{v}}={{10}^{-3}}\rho gz\ （10）\]

如果上覆岩层的密度不均匀且随深度变化, 则某一特定深度D处的垂向应力为：

\[{{\sigma }_{v}}=\int_{0}^{D}{{{10}^{-3}}\rho \left( z \right)gdz}\ （11）\]

水平应力的估算是准确模拟地应力状态的关键^[37]。各向同性条件下所有方向上的水平应力近似相等, 这种情况通常发生在未受地壳内部大规模区域构造运动（形成区域褶皱和裂缝）影响的岩层中^[38]。然而, 在大型地质构造如背斜、盐穹或其他构造活动区钻井时, 两个方向的水平主应力是不同的（即各向异性）, 可以区分出最大水平应力方向和最小水平应力方向^[39]。模拟中对以上两种情况都要加以考虑。

利用孔隙-弹性水平应变模型（PHSM）可以计算最大（σ _H）和最小水平应力（σ _h）^{[40, 41, 42]}：

\[{{\sigma }_{h}}=\frac{\upsilon }{1-\upsilon }{{\sigma }_{v}}-\frac{\upsilon }{1-\upsilon }\alpha {{p}_{p}}+\alpha {{p}_{p}}+ {{10}^{3}}\frac{E}{1-{{\upsilon }^{2}}}{{\varepsilon }_{x}}+{{10}^{3}}\frac{\upsilon E}{1-{{\upsilon }^{2}}}{{\varepsilon }_{y}}\ （12）\]

\[{{\sigma }_{H}}=\frac{\upsilon }{1-\upsilon }{{\sigma }_{v}}-\frac{\upsilon }{1-\upsilon }\alpha {{p}_{p}}+\alpha {{p}_{p}}+ {{10}^{3}}\frac{\upsilon E}{1-{{\upsilon }^{2}}}{{\varepsilon }_{x}}+{{10}^{3}}\frac{E}{1-{{\upsilon }^{2}}}{{\varepsilon }_{y}}\ （13）\]

其中, Biot系数可以通过体积模量计算得到^{[43, 44]}。对于相对均质的Asmari组砂岩储集层, 设定Biot系数为1。需要注意的是, 在非均质地层中, 这样的假设不合理^[45]。

利用（1）式— （13）式和PHSM, 对所研究油田内一口直井4 090~4 095 m层段地质力学参数进行计算, 然后通过FLAC3D软件进行井筒稳定性建模^[25]。计算地质力学参数的基础数据（基础案例）为：体积模量20.7 GPa, 剪切模量13.0 GPa, 内聚力34.7 MPa, 内摩擦角35.7° , 最大水平应力91.6 MPa, 最小水平应力57.6 MPa, 最大最小水平应力之比为1.59, 上覆岩层压力102.5 MPa, 孔隙压力40.0 MPa, 井筒半径10.7 cm, 渗透率110× 10^-3μ m²。

由前述可知, 内聚力和内摩擦角是影响岩石强度特性的两个重要因素。内聚力是岩石颗粒（矿物颗粒和岩石碎片）之间的相互作用力, 当法向应力值为零时, 内聚力即为剪切强度, 是一种只有在岩石发生破裂之前才存在的静力; 而内摩擦角与岩体内部滑动面的粗糙度有关, 是一种存在于失效破坏过程中的动态力^[46]。

为了研究内聚力对安全钻井液密度窗口的影响, 除了基础案例中内聚力为34.7 MPa的条件外, 还针对内聚力为20~50 MPa时的情况分别进行了评估。基于有限体积模型中出现塑性状态的标准, 该内聚力范围内对应的安全钻井液密度窗口如图5所示。敏感性分析结果表明当内聚力减小时, 安全钻井液密度窗口变窄（即安全钻井液密度的最大和最小值之间的差值变小）。这说明如果井壁岩石的内聚力较小, 则井壁失稳的风险较大, 防止井壁失稳的钻井液密度窗口较窄。

图5

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	图5 内聚力对安全钻井液密度窗口的影响

利用相同的敏感性分析方法, 研究了内摩擦角对安全钻井液密度窗口的影响。基础案例中内摩擦角设定为35.7° , 敏感性分析过程中取内摩擦角为20° ~50° , 在不同的内摩擦角条件下, 对应的安全钻井液密度的上限值和下限值如图6所示。与内聚力的变化规律类似, 内摩擦角越小, 安全钻井液密度窗口越窄, 井筒失稳风险就越大。

图6

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	图6 内摩擦角对安全钻井液密度窗口的影响

在钻开地层之前, 地层的主要应力场称为地应力, 通常将地应力分为3个分量, 即垂向应力（上覆岩层应力）、最大水平应力以及最小水平应力。钻开地层后, 井眼轨迹上的岩石以岩屑的方式被移出井筒, 由井壁承受原先岩石支撑的应力。井壁应力取决于井筒的方位以及影响井筒处地层的主要地应力场^[47]。钻井前地层通常处于稳定的应力平衡状态, 一旦钻开地层, 井壁周围的应力分布将受到扰动, 进而破坏井筒的稳定性。井壁或井壁附近的扰动应力场可用3种不同的应力来表示（见图7中红色箭头）：①从井筒中心向外施

图7

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	图7 井壁诱导应力及井筒所在地层地应力

加的径向应力; ②沿井壁圆周切向施加的切向应力; ③沿井眼轨迹长度施加的轴向应力（即直井内的垂向应力）。这3种井壁应力相互垂直, 可利用井筒坐标系以数学方式表征。

基于弹性理论的Kirsch方程可以求得封闭解来确定井筒周围的应力。另外, （14）式— （16）式可用于计算直井井壁的3种诱导应力^[48]：

\[{{\sigma }_{r}}={{p}_{m}}-{{p}_{p}}\ （14）\]

\[{{\sigma }_{\text{t}}}={{\sigma }_{h}}+{{\sigma }_{H}}-{{p}_{p}}-{{p}_{m}}-2\left( {{\sigma }_{H}}-{{\sigma }_{h}} \right)\cos 2\theta \ （15）\]

\[{{\sigma }_{a}}={{\sigma }_{v}}-{{p}_{p}}-2\upsilon \left( {{\sigma }_{H}}-{{\sigma }_{h}} \right)\cos 2\theta \ （16）\]

对于直井, 最大切向应力（σ _{t, max}）出现在远场水平应力最小的方向（即θ 为90° 时）; 最小切向应力（σ _{t, min}）出现在远场水平应力最大的方向（即θ 为零时)^[49]（见图8）。这两个水平应力分量可以通过下面的公式进行计算：

\[{{\sigma }_{\text{t}, min}}=3{{\sigma }_{h}}-{{\sigma }_{H}}-{{p}_{m}}-{{p}_{p}}\ （17）\]

\[{{\sigma }_{t, max}}=3{{\sigma }_{H}}-{{\sigma }_{h}}-{{p}_{m}}-{{p}_{p}}\ （18）\]

图8

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	图8 各向异性水平应力场中的垂直井眼[49]

从图9可以看出, 井筒中钻井液的密度过低将导致井筒在最小水平应力方向上发生剪切破坏, 也就是钻井液压力施加的切向应力最大且径向应力最小的位置; 而若井筒内钻井液的密度过高, 则导致井筒在最大水平应力方向上发生拉伸破坏, 也就是钻井液压力施加的切向应力最小且径向应力最大的位置^[50]。

图9

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	图9 近井筒区域应力分布示意图及常见的井筒破坏机理[40]

本研究以直井为对象进行分析, 因此相较于垂向应力, 井筒周围的水平地应力（即最大和最小水平应力）对井筒稳定性的影响更大, 因此需要研究水平应力之比对安全钻井液密度窗口的影响。通过改变最小水平应力值, 进而改变应力比, 然后计算得出每个案例条件下对应的安全钻井液密度窗口进行敏感性评估。

由图10可见, 随着最大和最小水平应力之比（k）的减小（即最大水平应力值向最小水平应力值靠近）, 在更大的钻井液密度范围内（即安全钻井液密度窗口变宽）井眼呈稳定状态。此外, 随着k值的减小, 安全钻井液密度窗口的最大值和最小值变化的梯度有显著的不同。这种差异可以由不同k值对（17）和（18）式计算得出的最大和最小切向应力的影响不同来解释。

图10

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	图10 最大水平应力与最小水平应力比（k）对安全钻井液密度窗口的影响

孔隙压力通过产生有效应力来影响井筒应力场, 从而影响安全钻井液密度窗口和井筒稳定性。为了评价Asmari组砂岩储集层孔隙压力对安全钻井液密度窗口的影响, 在孔隙压力为30~45 MPa的条件下进行了敏感性分析并计算出每种情况对应的安全钻井液密度窗口。如图11所示, 随着孔隙压力的减小, 安全钻井液密度窗口变宽, 即孔隙压力降低时, 井筒在较宽的钻井液密度窗口内是稳定的。

图11

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	图11 孔隙压力对安全钻井液密度窗口宽度的影响

从图10和图11可以看出, 随着k值和孔隙压力的增大, 安全钻井液密度窗口变窄, 井筒失稳的风险增大。