假设有1套由n段不同尺寸钻柱组成的钻具组合, 如图1所示。钻柱内外钻井液密度不同, 采用材料力学中分析内力的截面法和流体静力学中的压力面积法建立模型, 求解井口以下任意截面a处轴向力。

图1

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	图1 不同尺寸钻柱组成的组合管柱

将截面a以下钻具组合看作一个整体（包括钻柱和钻柱内钻井液）进行分析, 其受力模型如图2所示。各段钻柱的质量由钻柱自身质量和钻柱内流体质量共同组成, 因此第1、2段钻柱质量分别为：

\[{{W}_{1}}=\Delta {{H}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( R_{1}
{2}-r_{1}
{2} \right){{\rho }_{\text{s}}}+\Delta {{H}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }r_{1}
{2}{{\rho }_{\text{i}}}\ \ (1)\]

\[{{W}_{2}}=\Delta {{H}_{2}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( R_{2}
{2}-r_{2}
{2} \right){{\rho }_{\text{s}}}+\Delta {{H}_{2}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }r_{2}
{2}{{\rho }_{\text{i}}}\ \ (2)\]

对于截面a以下各段钻柱, 液体作用于钻具侧壁上压力的合力为零, 因此只考虑液体作用于截面和台肩面的压力, 取与重力相反方向为正。则所受液压力为：

图2

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	图2 静液压力中钻柱受力模型

${{f}_{1}}={{H}_{1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{R}_{1}}
{2}{{\rho }_{\text{o}}}g （3）$

${{f}_{2}}=-{{H}_{2}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( R_{1}
{2}-R_{2}
{2} \right){{\rho }_{\text{o}}}g （4）$

${{f}_{3}}=-{{H}_{\text{a}}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{r}_{2}}
{2}{{\rho }_{\text{i}}}g （5）$

根据静力平衡关系, 可得截面a处的拉力：

\[{{T}_{\text{a}}}={{W}_{1}}g+{{W}_{2}}g-{{f}_{1}}-{{f}_{2}}-{{f}_{3}}\ \ (6)\]

将（1）式— （5）式代入（6）式, 整理得到：

\[{{T}_{\text{a}}}=\sum\limits_{i=1}
{n}{\Delta {{H}_{i}}}{{q}_{i}}{{K}_{i}}-{{H}_{\text{a}}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }g\left( R_{2}
{2}{{\rho }_{\text{o}}}-r_{2}
{2}{{\rho }_{\text{i}}} \right)\ \ (7)\]

其中 ${{K}_{i}}=\text{1}-\frac{R_{i}
{2}{{\rho }_{\text{o}}}-r_{i}
{\text{2}}{{\rho }_{\text{i}}}}{\left( R_{i}
{2}-r_{i}
{\text{2}} \right){{\rho }_{\text{s}}}}$

（7）式中, Δ H_iq_iK_i为各段钻柱在钻井液中的重力, 即浮重。由于q_i是平均线重, 已考虑了接头的重力, 计算浮重时不必再考虑台肩和接头的影响^{[4, 5]}。

（7）式等号右边第1项为钻柱浮重, 将第2项稍加变形可以得到：

${{F}_{\text{x}}}={{p}_{\text{ao}}}{{A}_{\text{ao}}}-{{p}_{\text{ai}}}{{A}_{\text{ai}}} （8）$

（8）式中F_x为液压力产生的虚拟力, 虚拟力的概念和计算方法来源于液压环境下管柱失稳的力学分析^{[6, 7, 8]}。虚拟力是真实存在的轴力, 并不虚拟, 美国石油学会将其命名为有效弯曲力（effective bucking force）。利用虚拟力可以将两种轴力联系起来, 即真实轴力等于有效轴力与虚拟力之差^[9]。（7）式中T_a为截面a的真实轴力, 因此：

${{T}_{\text{a}}}={{T}_{\text{e}}}-{{F}_{\text{x}}} （9）$

（9）式中T_e为有效轴力, 其为各段钻柱浮重的累加, 方向与重力方向一致。因此, 钻柱上顶力只能由虚拟力产生, 当虚拟力与重力方向相反时, 即为钻柱上顶力。所以, 钻柱上顶力源自液压力, 而非浮力。

超深井钻井时, 钻柱安装内防喷器, 关井立压为零, 则（8）式简化为：

${{F}_{\text{x}}}={{p}_{\text{c}}}{{A}_{\text{ao}}} （10）$

此时F_x为上顶力, 但存在钻柱上顶力并不一定出现钻柱上顶现象, 只有当井口处钻柱上顶力大于钻柱浮重时, 才会出现钻柱上顶现象。因此防止钻柱上顶的条件为：

\[{{p}_{\text{c}}}\le \frac{1}{{{A}_{\text{ao}}}}\sum\limits_{i=1}
{n}{\Delta {{H}_{i}}}{{q}_{i}}{{K}_{i}}\ \ (11)\]

假设某井发生溢流并关井, 关井时井内剩Φ 120.7 mm钻铤500 m, 钻井液密度1.5 g/cm³, 钻铤线重683 N/m。采用（1）式— （10）式可计算得到如图3所示的井口轴向载荷与井口套压间关系。

图3

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	图3 井口轴向载荷随井口套压变化关系

当井口套压大于24.16 MPa时, 井口轴向载荷为负, 上顶力大于钻柱浮重, 将出现钻柱上顶现象。为防止该井出现钻柱上顶现象, 应控制关井井口套压小于等于24.16 MPa, 即防止钻柱上顶的最大套压条件为24.16 MPa。至于何时达到最大套压, 需对关井期间井筒内流体运移及井筒压力演变进行动态分析。

井筒续流效应下地层流体在压差作用下持续侵入井筒, 其侵入量与储集层厚度、渗透率及气体性质等因素有关, 可以利用渗流力学理论计算侵入速度：

\[{{Q}_{\text{g}}}=\frac{0.538{{K}_{\text{r}}}{{h}_{\text{r}}}\left[ {{p}_{\text{e}}}
{2}-{{p}_{\text{w}}}{{\left( t \right)}
{2}} \right]}{T{{Z}_{\text{g}}}\mu \ln \frac{{{r}_{\text{e}}}}{{{r}_{\text{w}}}}}\ \ (12)\]

由于井筒环空体积不变, 单位时间内地层流体侵入体积等于单位压力压缩井筒内流体减小的体积, 即：

\[{{Q}_{\text{g}}}{{B}_{\text{g}}}={{V}_{\text{g}}}{{C}_{\text{g}}}\frac{\text{d}{{p}_{\text{w}}}\left( t \right)}{\text{d}t}+{{V}_{\text{l}}}{{C}_{\text{l}}}\frac{\text{d}{{p}_{\text{w}}}\left( t \right)}{\text{d}t}\ \ (13)\]

求解可得续流期间t时刻井底压力值：

\[{{p}_{\text{w}}}\left( t \right)={{p}_{\text{e}}}\frac{Y-1}{Y+1}\ \ (14)\]

其中 $Y=\frac{{{p}_{\text{e}}}+{{p}_{\text{w0}}}}{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{w0}}}}\exp \left[ \frac{1.076{{p}_{\text{e}}}{{K}_{\text{r}}}{{h}_{\text{r}}}{{B}_{\text{g}}}t}{\left( {{V}_{\text{g}}}{{C}_{\text{g}}}+{{V}_{\text{l}}}{{C}_{\text{l}}} \right)T{{Z}_{\text{g}}}\mu \ln \frac{{{r}_{\text{e}}}}{{{r}_{\text{w}}}}} \right]$

由于地层气体密度低于钻井液密度, 气体滑脱上升, 井筒各位置处密度、压力随时间、空间不断变化, 需采用时间、空间网格法计算, 另外气体上升过程中气液两相段位置和长度都随时间变化, 因此本文采用两套网格系统。对于井筒环空, 采用静态网格分析方法, 将井筒环空划分为X个网格, 网格大小和数量不变; 对于气液两相段, 采用动态网格分析方法, 将两相段划分为Z个网格, 网格数量不随时间变化, 网格大小h_g(t, z)随气体上升不断变化。气体膨胀增加的体积等于钻井液受压缩减小的体积与钻井液滤失到地层体积之和, 即：

\[\begin{align} & \sum\limits_{z=1}
{Z}{{{A}_{\text{a}}}\left( t, z \right){{E}_{\text{g}}}\left( t, z \right){{h}_{\text{g}}}\left( t, z \right)-} \\ & \sum\limits_{z=1}
{Z}{{{A}_{\text{a}}}\left( t-\Delta t, z \right){{E}_{\text{g}}}\left( t-\Delta t, z \right){{h}_{\text{g}}}\left( t-\Delta t, z \right)=} \\ & \sum\limits_{x=1}
{X}{{{C}_{\text{l}}}\frac{{{p}_{x}}\left( t \right)-{{p}_{x}}\left( t-\Delta t \right)}{2}{{V}_{\text{l}x}}\left( t \right)}+{{V}_{\text{f}}}\left( t \right) \\ \end{align}\ （15）\]

气液两相段单元持气率的计算式为：

\[{{E}_{\text{g}}}\left( t, z \right)=\frac{{{m}_{\text{g}}}\left( z \right)}{{{\rho }_{\text{g}}}\left( t, z \right){{A}_{\text{a}}}\left( t, z \right){{h}_{\text{g}}}\left( t, z \right)}\ \ (16)\]

气液两相段单元压力的计算式为：

\[p\left( t, z \right)={{p}_{\text{w}}}\left( t \right)-{{\rho }_{\text{l}}}g{{h}_{\text{low}}}\left( t \right)-\]

\[\sum\limits_{m=1}
{z}{\left\{ {{\rho }_{\text{g}}}\left( t, m \right){{E}_{\text{g}}}\left( t, m \right)+{{\rho }_{\text{l}}}\left[ 1-{{E}_{\text{g}}}\left( t, m \right) \right] \right\}g{{h}_{\text{g}}}\left( t, m \right)}\ \ (17)\]

气液两相段单元长度的计算式为：

\[{{h}_{\text{g}}}\left( t, z \right)={{h}_{\text{g}}}\left( t-\Delta t, z \right)+\left[ {{v}_{1}}\left( t-\Delta t, z \right)-{{v}_{2}}\left( t-\Delta t, z \right) \right]\Delta t\ \ (18)\]

气体滑脱速度的计算式为：

\[v=\left\{ \begin{align} & 1.53{{\left\{ \frac{\left[ {{\rho }_{\text{l}}}-{{\rho }_{\text{g}}}\left( t, z \right) \right]g\sigma \left( t, z \right)}{{{\rho }_{\text{l}}}
{2}} \right\}}
{0.25}}{{E}_{\text{g}}}\left( t, z \right)\le 0.25 \\ & \left( 0.3+0.22\frac{{{d}_{\text{t}}}}{{{d}_{\text{c}}}} \right)\sqrt{\frac{g{{d}_{\text{c}}}}{{{\rho }_{\text{l}}}}}\quad \quad \ \ {{E}_{\text{g}}}\left( t, z \right)0.25 \\ \end{align} \right.\ \ (19)\]

当井筒压力大于地层压力时, 钻井液将通过泥饼滤失到地层^[13], 钻井液滤失量为：

\[{{V}_{\text{f}}}\left( t \right)=\sum\limits_{k=1}
{K}{0.01{{A}_{\text{c}}}\left( k \right)\times } \sqrt{2{{K}_{\text{c}}}\left[ \frac{{{p}_{\text{c}}}\left( t, k \right)+{{p}_{\text{c}}}\left( t-\Delta t, k \right)}{2}-{{p}_{\text{e}}}\left( k \right) \right]\left( \frac{{{f}_{\text{sc}}}}{{{f}_{\text{sm}}}}-1 \right)\frac{\Delta t}{{{\mu }_{\text{m}}}}}\ \ (20)\]

在整个关井过程中井筒体积守恒, 单位时间内, 井筒中流体流入体积减去流出体积再加上滑脱上升膨胀的体积等于井筒内流体由于井筒压力增加而减少的体积, 即：

\[{{Q}_{\text{g}}}{{B}_{\text{g}}}-{{V}_{\text{f}}}\left( t \right)+\Delta {{V}_{\text{g}}}={{V}_{\text{g}}}{{C}_{\text{g}}}\frac{\text{d}{{p}_{\text{w}}}\left( t \right)}{\text{d}t}+{{V}_{\text{l}}}{{C}_{\text{l}}}\frac{\text{d}{{p}_{\text{w}}}\left( t \right)}{\text{d}t}\ \ (21)\]

联立（12）式— （21）式, 采用Gauss-Seidel迭代方法求解, 得到井筒内流体密度、井筒压力随时间变化的关系, 然后将其代入（9）式得到关井期间钻柱上顶力动态变化情况。

如图4所示, 井底压力和套压均随时间增加而增加, 前20 min内以井筒续流效应为主, 之后为气体滑脱效应, 经747 min后气体滑脱至井口, 套压为25.5 MPa。当气体运移至井口后, 因气体不再上升, 气体体积将不再变化, 套压将维持不变, 此时套压为关井最大套压。本文计算的套压变化与Lage等^[14]的实验结果相同。

图4

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	图4 井筒压力随关井时间变化图

由于关井套压存在最大值, 针对某一特定工况将存在临界钻柱长度, 即井内钻柱长度超过临界钻柱长度时, 无钻柱上顶风险。最大套压下, 井口轴向载荷与井内钻柱长度关系如图5所示。

图5显示, 当井内钻柱长度减小至690 m时, 井口轴向载荷为零。之后井口轴向载荷方向由向下转为向上, 钻柱上顶, 当上顶力超过防喷器密封摩擦力时, 钻柱将被顶出井口。故本算例条件下, 钻柱上顶临界钻柱长度为690 m, 若井内钻具组合长度大于690 m, 无钻柱上顶风险; 反之, 则需要分析此算例条件下的临界关井时间。

图5

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	图5 井口轴向载荷随井内钻柱长度变化关系

图6为井内钻柱长度为500 m情况下井口轴向载荷与关井时间关系。在关井568 min时, 井口轴向载荷为零, 此后井口轴向载荷方向由向下转为向上, 钻柱上顶。针对本算例溢流情况和井内钻柱长度500 m的条件, 为防止钻柱上顶, 应控制关井时间少于568 min, 即钻柱上顶临界关井时间为568 min。

图6

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	图6 井口轴向载荷随关井时间变化图

通过计算不同井内钻柱长度下的临界关井时间, 可以得到本算例条件下钻柱上顶风险分布图（见图7）, 按照临界关井时间和临界钻柱长度将钻柱上顶风险分为5个区域。区域①和②内井口轴向载荷为负值, 存在钻柱上顶风险; 区域③、④和⑤内井口轴向载荷为正值, 不存在钻柱上顶风险。其中区域④和⑤中井内钻柱长度大于防止钻柱上顶的临界钻柱长度。在区域①和⑤内, 气体已运移至井口, 井口套压在最大值处维持恒定, 而在区域②、③和④内, 气体尚在井筒中运移, 套压持续升高。为降低钻柱上顶风险, 应控制井内钻柱长度和关井时间位于区域③、④和⑤内。

图7

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	图7 钻柱上顶风险分布图